Κυριακή, 27 Μαρτίου 2016

Αριθμοί Μερσέν και ένα κυριακάτικο πρόβλημα



 «Η αιωνιότητα δεν είναι αρκετή για να διαπιστωθεί αν ένας εικοσαψήφιος  αριθμός είναι πρώτος!!»                                                                                                    

                                                                      Μαρέν Μερσέν  (1861-1926)                        
      Ο Μαρέν Μερσέν ήταν Γάλλος μοναχός του τάγματος των Ελαχίστων που έζησε τον 170 αιώνα στο Παρίσι και ήταν παράλληλα παθιασμένος μαθηματικός.Μελέτησε αριθμούς της μορφής  2p-1 όπου p είναι πρώτος αριθμός  και διαπίστωσε ότι κάποιοι από αυτούς είναι  πρώτοι αριθμοί. Έκτοτε φέρουν το όνομα του σαν πρώτοι του Μερσέν με το συμβολισμό Μp. Ειδικότερα, ο Μερσέν στο έργο του Cogitata Physica-Mathematica (1644) είχε διατυπώσει την εικασία ότι οι αριθμοί της μορφής  Mp=2p-1 είναι πρώτοι για                                           
                                            p = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 .

Ο Μερσέν όμως είχε κάνει πέντε λάθη.Εσφαλμένα,διατύπωσε ότι οι αριθμοί και M67 ,          M 257  είναι πρώτοι  ενώ απέκλεισε τους αριθμούς M6189107.Μπορούμε να τον ψέξουμε; Μπορούσε να υπολογίσει στο χέρι αριθμούς όπως  το   213-1=8191  αλλά  το 2257-1; Πως κατόρθωσε να υπολογίσει με το χέρι έναν αριθμό με 77 ψηφία και να ισχυρίζεται ότι είναι πρώτος.Γνώριζε κάποιο μαθηματικό τύπο; Μάντευε; Το μέλλον τον διέψευσε καθώς αποδείχτηκε  ότι:  

2257-1=  535006138814359 (15 ψηφία) × 1155685395246619182673033 (25 ψηφία) ×
374550598501810936581776630096313181393 (39 ψηφία)
Μαρέν Μερσέν (1861-1926)

Ειδικά για την απόδειξη ότι ο αριθμός M67 = 267-1  δεν είναι πρώτος υπάρχει μια ενδιαφέρουσα ιστορία. Μια ιστορία που αφορά την παραγοντοποιήση και τα απογεύματα της Κυριακής.
F. N.Cole (1861-1926)

  Εν έτη 1903,ο Φρανκ Νέλσον Κόουλ, καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια της Νέας Υόρκης σε  ένα συνέδριο της Αμερικανικής μαθηματικής Εταιρείας  επρόκειτο να δώσει μια διάλεξη με τον πρωτότυπο τίτλο « Περί παραγοντοποίησης πολύ μεγάλων αριθμών». Όταν έφτασε η στιγμή της διάλεξης ,δίχως να πει λέξη ανέβηκε στον πίνακα υπολόγισε την  δύναμη  267 αφαίρεσε μια μονάδα  και έγραψε το αποτέλεσμα:
             267-1  =147573952589676412927
 Στην συνέχεια εκτέλεσε τον παρακάτω πολλαπλασιασμό:         
 193707721x761838257287=147573952589676412927
Το αποτέλεσμα του γινομένου ήταν το ίδιο .Τελικά έγραψε στον πίνακα:
               267-1 =193707721x761838257287
  Το ακροατήριο σηκώθηκε όρθιο και χειροκρότησε.Από το 1876 ήταν γνωστό ότι ο αριθμός 267-1,ένας αριθμός του
Μερσέν με 20 ψηφία,δεν ήταν πρώτος αλλά γινόμενο δυο μικρότερων πρώτων. Κανείς όμως δεν ήξερε ποιων.Όταν ρωτήθηκε ο Κόουλ πως κατάφερε να βρει τους αριθμούς, αυτός απάντησε ότι επί τρία χρόνια κάθε κυριακάτικο απόγευμα εργαζόταν στο πρόβλημα. 
Για να διαβάσετε τη συνέχεια κάντε κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο:
http://mathhmagic.blogspot.gr/2016/03/blog-post_27.html

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου