Σάββατο, 25 Μαρτίου 2017

Άπειροι πίθηκοι, συνδυαστική ανάλυση,το π και ποιήματα που φτάνουν για όλους...


'Ας δώσουμε περιθώριο χρόνου στο πιθανό και θα συμβεί.'

Τελευταία έχω φάει πετριά με τον Τσιφόρο,διαβάζω (ξαναδιαβάζω για την ακρίβεια) τις'ιστορίες' του (Σταυροφορίες,Φράγκοι, αργότερακονκισταδόροι,και πάει λέγοντας.)Ο κόσμος μας σε μια επανάληψη με διαφορετικούς πρωταγωνιστές αλλά σε πιο γκροτέσκο καμβά.Επαναφέρω λοιπόν μια παλιότερη ανάρτηση για την συνδυαστική ανάλυση,την ποίηση,και την Νιτσεϊκή αιώνια επιστροφή.(Είναι προφανές ότι διορθώνω διαγωνίσματα δυο ώρες τώρα και έχω ξωκείλει)
Εν αρχή είναι το θεώρημα των άπειρων πιθήκων.Αν μπορεί ένας πίθηκος.....
Έστω ότι έχουμε ένα πίθηκο μπροστά σε μια γραφομηχανή,αν του δοθεί αρκετός χρόνος, πληκτρολογώντας στην τύχη, θα γράψει τελικά ανάμεσα σε πολλά άλλα σίγουρα και ένα από τα έργα του Σαίξπηρ. Η εικασία αυτή ονομάζεται σε ελεύθερη μετάφραση 'θεώρημα των απείρων πιθήκων'(Infinite monkey theorem) και δραματοποιεί
δυο στοιχεία των τυχαίων ακολουθιών:
- οτιδήποτε μπορεί να προκύψει και το αποτέλεσμα δεν θα είναι απαραίτητα τυχαίο.

Το θεώρημα πάει ένα βήμα παραπέρα και ισχυρίζεται ότι αν ο χιμπατζής συνεχίζει να πατεί πλήκτρα επ 'άπειρον τότε η πιθανότητα να γράψει οποιοδήποτε δοθέν κείμενο θα είναι 1.
Ας το δούμε λίγο με όρους πιθανοτήτων και ας προσομοιώσουμε την διαδικασία της πληκτρολόγησης με την χρήση δυο ζαριών, και ένα πινάκα διπλής εισόδου. Φανταστείτε ότι έχετε δυο ζάρια και ένα πινάκα 6Χ6 με όλα τα γράμματα του αγγλικού αλφάβητου καθώς και τα σημεία στίξης ακόμα και το κενό (μην ξεχνάτε ότι μιλάμε για έργο του Σαίξπηρ).
Ένα πίνακα σαν τον παρακάτω:

Ρίχνουμε τα δυο ζάρια και ανάλογα με τους αριθμούς που θα φέρνουμε γράφουμε στο χαρτί το αντίστοιχο σύμβολο του πινάκα.Για παράδειγμα αν φέρουμε 3 και 4.Γράφουμε στο χαρτί το σύμβολο που βρίσκεται στην τρίτη γραμμή και στην τέταρτη στήλη δηλαδή το γράμμα P .Αν συνεχίσουμε να ρίχνουμε τα ζάρια είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα πέσουμε πάνω σε κάποια λέξη με τρία η περισσότερα γράμματα. Ας το δούμε και μαθηματικά. Ας πούμε πόσες ρίψεις θα χρειαστούμε κατά μέσο όρο για να εμφανιστεί η λέξη:
ο κάθε χαρακτήρας του πίνακα έχει από την ρίψη των ζαριών μια πιθανότητα εμφάνισης 1/36 άρα πρέπει να ρίξουμε κατά μέσο 36 φόρες τα ζάρια για να πετύχουμε τον χαρακτήρα ,δεδομένου ότι η λέξη έχει 9 χαρακτήρες πρέπει να ρίξουμε τα ζάρια :
36Χ 36 Χ 36Χ36 Χ 36Χ36 Χ 36Χ36 Χ36 =36^9 φορές
Δηλαδή 101559956668416 φορές.
Αν αναρωτηθούμε πόσες ρίψεις ζαριών πρέπει να κάνουμε για να παραξουμε τα άπαντα του Σαίξπηρ. Με μια μετριοπαθή υπόθεση ότι όλα τα έργα του Σαίξπηρ αποτελούνται συνολικά από 5.000.000 χαρακτήρες τότε Θα απαιτούνταν 36^5000000 ρίψεις .Ένας χιμπατζής ο οποίος θα πληκτρολογούσε περίπου 10 χαρακτήρες το δευτερόλεπτο θα του έπαιρνε 3Χ10^2385597 χρόνια για να ολοκληρώσει......το έργο του Σαίξπηρ.
Η ιδέα συμφωνα με την Wikipedia είναι πολύ παλιά, εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο άρθρο του Εμίλ Μπορέλ Mécanique Statistique et Irréversibilité (1913, Στατιστική μηχανική κα μη αναστρεψιμότητα) και στο βιβλίο του, Le Hasard (1914). Οι πίθηκοί του δεν είναι πραγματικοί, αλλά μία μεταφορά για ένα φανταστικό τρόπο να παραχθεί μία μεγάλη, τυχαία ακολουθία γραμμάτων. Ο Μπορέλ έγραψε ότι αν ένα εκατομμύριο πίθηκοι δακτυλογραφούσαν για δέκα ώρες την ημέρα, θα ήταν εξαιρετικά απίθανο το έργο τους να περιέχει ακριβώς όλα τα βιβλία των πλουσιότερων βιβλιοθηκών του κόσμου, και όμως, για σύγκριση, ήταν ακόμα πιο απίθανο από αυτό οι νόμοι της στατιστικής μηχανικής να παραβιαστούν, έστω και για σύντομο διάστημα.
Στην συνέχεια,ο φυσικός Άρθουρ Έντιγκτον προχώρησε την σκέψη του Μπορέλ παραπέρα στο έργο του Nature of the Physical World ( Η Φύση του Φυσικού Κόσμου, 1928), γράφοντας:
Αν αφήσω τα δάκτυλά μου να περιπλανηθούν άσκοπα στα πλήκτρα μιας γραφομηχανής μπορεί να συμβεί το κείμενό μου να είναι μία πρόταση με νόημα. Αν μία στρατιά πιθήκων χτυπούσαν πλήκτρα σε γραφομηχανές μπορεί να έγραφαν όλα τα βιβλία του Βρετανικού Μουσείου. Η πιθανότητα να το πετύχουν αυτό είναι σαφώς μεγαλύτερη από αυτήν των μορίων να επιστρέψουν στο ένα μισό του δοχείου..
Με αυτά τα παραδείγματα,ο αναγνώστης καλούνταν να αναλογιστεί την τεράστια απιθανότητα η εργασία μεγάλου αλλά πεπερασμένου αριθμού πιθήκων για μεγάλο αλλά πεπερασμένο χρονικό διάστημα να έχει αποτέλεσμα ένα σημαντικό έργο με την ακόμη μεγαλύτερη απιθανότητα συγκεκριμένων φυσικών φαινομένων. Κάθε φυσική διεργασία που είναι πιο απίθανο να συμβεί από την επιτυχία τέτοιων πιθήκων θεωρείται πρακτικώς απίθανη, και μπορεί να ειπωθεί με ασφάλεια ότι δεν πρόκειται να συμβεί ποτέ.
Σε ένα δοκίμιο του 1939 με τίτλο ' Η απόλυτη Βιβλιοθήκη' ( The Total Library), ο Αργεντίνος συγγραφέας Χόρχε Λουίς Μπόρχες,εντόπισε την προέλευση της έννοιας των άπειρων πιθήκων στα Μεταφυσικά του Αριστοτέλη. Εξηγώντας τις αντιλήψεις του Λεύκιππου, κατά τον οποίο ο κόσμος προήλθε από τυχαίους συνδυασμούς ατόμων, ο Αριστοτέλης σημείωσε ότι τα άτομα αυτά καθαυτά είναι ομογενή και ότι οι πιθανές διατάξεις τους διαφέρουν μόνο στο σχήμα, την θέση και την διάταξη.Στο έργο του, Περί γενέσεως και φθοράς, συγκρίνει με αυτό τον τρόπο με τον οποίο μια τραγωδία και μια κωμωδία αποτελείται από τα ίδια 'άτομα',δηλαδή αλφαβητικούς χαρακτήρες.Τρεις αιώνες αργότερα, ο Κικέρωνας στο έργο του De natura deorum ( Περί της φύσεως των θεών) διαφώνησε με την ατομική κοσμοθεώρηση:
Αυτός ο οποίος το πιστεύει αυτό μπορεί επίσης να πιστεύει ότι αν μία μεγάλη ποσότητα από τα εικοσιένα γράμματα, φτιαγμένα είτε από χρυσό είτε από άλλη ύλη,πετιόνταν στο έδαφος, θα έπεφταν με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίσουν τα Χρονικά του Έννιου. Αμφιβάλω αν η τύχη θα μπορούσε να φτιάξει έστω ένα στίχο από αυτά.
Ο Μπόρχες ακολουθεί την ιστορία αυτού του επιχειρήματος εν συνεχεία στον Μπλεζ Πασκάλ .Στον λογοτεχνικό σύμπαν του Τζοναθαν Σουιφτ στο βιβλίο του τα ταξίδια του Γκιουλιβερ παρουσιάζει στον γέρο καθηγητή Λαπούτα, εφευρέτη μιας μηχανής,ένα τετραγωνικό κατασκεύασμα με ακμή 6 μέτρων,που περιείχε εκατοντάδες μικροσκοπικούς κύβους περασμένους σε σύρματα.Στην κάθε πλευρά των κύβων ήταν μια λέξη γραμμένη από το λιλιπούτειο ιδίωμα.Στρίβοντας μια μανιβέλα,ήταν δυνατό να γυρίσουν οι έδρες των κύβων,παράγοντας ,έτσι, αυθαίρετους συνδυασμούς των εδρών. Όταν μια σειρά από λέξεις που είχαν επιλεγεί κατά αυτόν τον τρόπο , έφταναν να δημιουργήσουν προτάσεις με νόημα τις κατέγραφαν.Έπειτα με βάση αυτές τις προτάσεις ο καθηγητής συνέγραφε σοφές πραγματείες.

Ο Μπόρχες παρατηρεί,ότι, στον καιρό του το λεξιλόγιο είχε αλλάξει. Το 1939, ο ιδιωματισμός ήταν στο βιβλίο του ..ότι μισή ντουζίνα πίθηκοι με γραφομηχανές θα μπορούσαν,σε μερικές αιωνιότητες να παράξουν όλα τα βιβλία του Βρετανικού Μουσείου (Στον οποίο ο Μπόρχες προσέθεσε,...ένας αθάνατος πίθηκος θα αρκούσε.) Στην βιβλιοθήκη αυτή θα υπάρχουν όλες οι παραλλαγές των βασικών στοιχείων της γραφής (χαρακτήρες,σημεία στίξης και διαστήματα διαχωρισμού των λέξεων) γραμμένα σε ελεύθερο ύφος.Σύμφωνα με τον J . Navarro Ο Μπόρχες κατόπιν,φαντάζεται τα περιεχόμενα της απόλυτης Βιβλιοθήκης : Τα μυστικά του π ,η βιβλιοθήκη του Μπόρχες θα περιείχε περίπου 25 1132000 βιβλία.
Τα πάντα θα υπήρχαν μόνο στους τυφλούς τόμους της.Tα πάντα:η λεπτομερής ιστορία του μέλλοντος,οι Αιγύπτιοι στου Αισχύλου,ο ακριβής αριθμός των φορών που στα νερά του Γάγγη καθρεφτίστηκε το πέταγμα ενός γερακιού,το μυστικό και αληθινό όνομα της Ρώμης , η εγκυκλοπαίδεια που θα έπρεπε να είχε γράψει ο Νοβάλις,τα όνειρα και το μισουπνι μου όταν ξημέρωνε δεκατέσσερις Αύγουστου 1934, η απόδειξη του θεωρήματος του Πιερ Φερμά, τα άγραφα κεφάλαια του Εντουιν Ντρουντ, τα ίδια κεφάλαια μεταφρασμένα την γλώσσα που μιλούσαν οι Γκαραμάντες, τα παράδοξα που σκαρφίστηκε ο Μπέρκλευ για το Χρόνο και δεν τα δημοσίευσε,τα σιδηρά βιβλία του Ουριζεν, τα πρώιμα επιφάνεια του Στήβεν Ντένταλους που πριν από ένα κύκλο χιλίων ετών δεν σήμαιναν τίποτα , το αγνωστικιστικό ευαγγέλιο του Βασιλείδη, το τραγούδι που τραγουδούσαν οι Σειρήνες, ο ακριβής κατάλογος της Βιβλιοθήκης ,η απόδειξη της άπατης αυτού του καταλόγου. Τα πάντα αλλά οι γενιές των ανθρώπων μπορούν να περάσουν χωρίς τα ιλιγγιώδη ράφια-τα ράφια που θα εξοντώνουν την ημέρα και σε αυτά κατοικεί το χάος -να τους έχουν κληροδοτήσει μια ανεκτή σελίδα.
Τα βιβλία του Μπόρχες υπήρξαν αγαπημένα αναγνώσματα κατα την διάρκεια των φοιτητικών μου χρόνων,αργότερα, όταν έμαθα ότι υπήρξε ένθερμος υποστηρικτής του Πινοσέτ αισθάνθηκα εξαπατημενος,ο χρόνος όμως, μου έδειξε ότι ακόμα και σωστοί άνθρωποι μπορούν να έχουν την λάθος γραμμή. Δεν μπορούμε να παραβλέψουμε ότι η συνδυαστική ανάλυση έχει εφαρμοστεί και στην ..ποίηση.Χαρακτηριστικό παράδειγμα του προηγούμενου αιώνα,ο Raymond Queneau .Ο Queneau ( 1903-1976) υπήρξε συγγραφέας, ποιητής, στιχουργός, μεταφραστής και μαθηματικός.Πολυεπίπεδη προσωπικότητα,με ιδιαίτερη αίσθηση του χιούμορ και φαντασία, ανανέωσε τη γαλλική γλώσσα και λογοτεχνία εισάγοντας τον προφορικό λόγο και το χιούμορ στα γαλλικά γράμματα.
Κατά τη διάρκεια ενός συνεδρίου , ίδρυσε μαζί με τον μαθηματικό François Le Lionnais την Ουλιπό (Oulipo, Ouvroir de la Litterature Potentielle ή Εργαστήριο Δυνητικής Λογοτεχνίας) μια ενδιαφέρουσα απόπειρα εφαρμογής των Μαθηματικών στη Λογοτεχνία.
O Queneau έγραψε ένα μικρό βιβλιαράκι με τίτλο ' Cent milliards de poemes ' (Εκατό δισεκατομμύρια ποιήματα).Όπως αναφέρει ο ποιητής αυτό το μικρό βιβλίο επιτρέπει σε όλο τον κόσμο να ανασυνθέσει δισεκατομμύρια σονέτα , όλα κανονικά και κατανοητά.

Το βιβλίο έχει όλες και όλες δέκα σελίδες,καθεμιά με ένα σονέτο. Αλλά σε κάθε σελίδα διαιρείται σε δεκατέσσερις λωρίδες,καθεμία από τις οποίες περιέχει ένα στίχο του σονέτου που εμφανίζεται στην σελίδα.Συνδυάζοντας τις οριζόντιες λωρίδες μπορούμε να δημιουργήσουμε 10 14 σονέτα.Ο αριθμός αυτός είναι τεράστιος ,σκεφτείτε ότι ο πληθυσμός της γης είναι περίπου 7 δισεκατομμύρια ,οπότε αναλογούν σε κάθε κάτοικο της υφηλίου περίπου 14 διαφορετικά σονέτα από το βιβλιαράκι του Queneau .Εάν ξοδέψουμε μισό λεπτό για να διαβάσουμε ένα από τα σονέτα και καθόλου χρόνο για να αλλάξουμε σονέτο,θα χρειάζονταν περισσότερα από 95 εκατομμύρια χρόνια για να τα διαβάσουμε.
Μια online εκδοχή της δημιουργίας των σονέτων στο σύνδεσμο:
Προσομοίωση από την Wolphram Alpha

http://mathhmagic.blogspot.gr/2017/03/blog-post.html#more

Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης
Μαθηματικός

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου