Το τελευταίο θέωρημα του Fermat
Περιγραφή
 |
| Pierre de Fermat |
Ο μαθηματικός Pierre de Fermat έγραψε το 1637 σε ένα αντίγραφο της μετάφρασης της «Αριθμητικής» του Διόφαντου πως «έχω βρει μία εξαίσια απόδειξη αυτής της πρότασης, η οποία όμως δεν χωράει να γραφτεί στο περιθώριο αυτής της σελίδας». Όμως, δεν είχε βρεθεί σωστή απόδειξη για 357 χρόνια, μέχρι που τελικά αποδείχθηκε με τη χρήση πολύ προχωρημένων μεθόδων
από τον Sir Andrew Wiles το 1995 (μετά από αποτυχημένη προσπάθεια που είχε γίνει δύο χρόνια πριν).
 |
| Andrew Wiles |
Στη συνέχεια, ο Andrew Wiles, ο οποίος είχε συναρπαστεί από το θεώρημα του Fermat από την ηλικία των δέκα ετών και είχε μεγάλη εμπειρία με τις ελλειπτικές καμπύλες, ξεκίνησε την προσπάθειά του για την απόδειξη του θεωρήματος του Taniyama–Shimura. Το έκανε τελείως μυστικά, δουλεύοντας σε αυτό για επτά ολόκληρα χρόνια με ελάχιστη βοήθεια από άλλους, σε αντίθεση με άλλους μαθηματικούς. Το 1993, ο Wiles ανακοίνωσε την απόδειξή του σε μία τριήμερη διάλεξη. Όμως, βρέθηκε σφάλμα στη διαδικασία απόδειξης, και έτσι το αποτέλεσμα επτά χρόνων δεν ίσχυε. Ο Wiles με τον πρώην μαθητή του Richard Taylor ξόδεψαν άλλον ένα χρόνο να διορθώσουν την απόδειξη, κάτω από μεγάλη πίεση από τα μέσα ενημέρωσης και την μαθηματική κοινότητα. Το Σεπτέμβριο του 1994, κατάφεραν να αναβιώσουν την απόδειξη, χρησιμοποιώντας τεχνικές μετασχηματισμού αναπαραστάσεων του Galois, που είχε αναπτύξει ο Barry Mazur. Η τελική απόδειξη χρησιμοποιεί τις βασικές δομές της σύγχρονης αλγεβρικής γεωμετρίας. Μία υπέρβαση από τον Andrew Wiles, που κατάφερε να δώσει τέλος σε ένα άλυτο πρόβλημα 357 χρόνων.
Φιλιππίδης Χαράλαμπος παράθεση από ipervasi.wordpress.com
Μια δεκαετία περίπου πριν ο Wiles μάθει για το πρόβλημα του Fermat δύο Γιαπωνέζοι μαθηματικοί , ο Goro Shimura και ο Yutaka Taniyama εξέλιξαν μια θεωρία σχετικά με τους τύπους υπολοίπων που θα αποτελούσε τον ακρογωνιαίο λίθο στην προσπάθεια της απόδειξης από τον Wiles. Οι γιαπωνέζοι μαθηματικοί πίστευαν πως οι τύποι υπολοίπων και οι ελλειπτικές καμπύλες συνδέονταν στενά ως θεωρίες, παρ’όλο που οι δύο αυτές οντότητες ανήκαν σε δύο διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών. Με αφετηρία στην σκέψη τους ότι και τόσο στους τύπους υπολοίπων όσο και στις ελλειπτικές τροχιές έχουμε χρήση των L-σειρών , ισχυρίστηκαν ότι μεταξύ των δύο αυτών συνόλων αντικειμένων θα μπορούσε να υπάρξει μια απεικόνιση , τέτοια ώστε σε κάθε ζεύγος που αντιστοιχίζεται να αναλογεί σε κάθε περίπτωση η ίδια L-σειρά.
 |
| Goro Shimura |
 |
| Yataka Taniyama |
Οι δύο μαθηματικοί γνώριζαν ότι αν ο ισχυρισμός τους ήταν σωστός , τότε οι συνέπειες θα ήταν πολύ σημαντικές. Και αυτό διότι με την σύνδεση των κλάδων των μαθηματικών θα ήταν πλέον δυνατό τα πορίσματα που θα προέκυπταν στον ένα να εφαρμόζονται και στον άλλο κλάδο και αντίστροφα.
Η υπόθεση που διαμόρφωσαν οι δύο Γιαπωνέζοι μαθηματικοί , αν και δεν αποδείχτηκε αμέσως , ωστόσο καθώς περνούσαν τα χρόνια επηρέαζε όλο και περισσότερο τους μαθηματικούς της εποχής. Μέχρι που φτάσανε στο σημείο πολλοί από αυτούς να θεωρούν την υπόθεση Shimura-Taniyama ως δεδομένη και τη χρησιμοποιούσαν σαν βάση για την απόδειξη περαιτέρω προτάσεων.
Το φθινόπωρο του 1984 σε ένα επιστημονικό συμπόσιο στο Oberwolfach της Γερμανίας ο καθηγητής Gerhard Frey του Πανεπιστημίου του Saarland έδωσε μια διάλεξη που έδινε μια άλλη κατεύθυνση αντιμετώπισης του προβλήματος του Fermat. Συγκεκριμένα οδήγησε τα μυαλά της εποχής προς την κατεύθυνση της χρήσης της δια ατόπου απαγωγής.
Η ιδέα του Frey είχε ως εξής: Έστω ότι οι αριθμοί Α και Β είναι τέλειες n-στές δυνάμεις δύο αριθμών έτσι ώστε και το άθροισμα Α+Β να είναι τέλεια n-οστή δύναμη κάποιου αριθμού, δηλ. έστω ότι υπάρχει μια λύση στην εξίσωση του Fermat. Τότε οι αριθμοί Α και Β μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως συντελεστές σε μια εξίσωση ειδικής ελλειπτικής καμπύλης : y2=x(x - A)(x + B). Μια ποσότητα η οποία υπολογίζεται πάντοτε σε κάθε περίπτωση μελέτης ελλειπτικών καμπυλών είναι η παράσταση Κ=Α2Β2(Α+Β)2 .Με βάση τα όσα αναφέρθηκαν για τους Α και Β η παράσταση Κ είναι επίσης μια τέλεια n-οστή δύναμη. Το κρίσιμο σημείο στην τακτική του Frey είναι ότι αν το τελευταίο θεώρημα του Fermat είναι λάθος , τότε ακέραιες λύσεις Α και Β μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή της παράστασης Κ , η οποία θα είναι τέλεια n-οστή δύναμη. Συνεπώς το να αποδείξει κανείς ότι η παράσταση Κ δεν μπορεί ποτέ να είναι μια τέλεια n-οστή δύναμη θα αποτελούσε ένδειξη ότι ισχύει το θεώρημα του Fermat. Ο Frey δεν μπόρεσε να προχωρήσει περαιτέρω σε αυτό το σημείο . Υποψιάστηκε όμως ότι αν υπήρχε μια ελλειπτική καμπύλη της οποίας η αντιστοιχούσα Κ παράσταση ήταν τέλεια n-οστή δύναμη, τότε αυτή η ελλειπτική καμπύλη θα ήταν modular. Με άλλα λόγια η ύπαρξη μιας τέτοιας καμπύλης θα ακύρωνε την ορθότητα της πρότασης Shimura-Taniyama. Σκεπτόμενος ανάποδα , ο Frey διατύπωσε τον ισχυρισμό ότι αν κάποιος κατάφερνε να αποδείξει την θεωρία Shimura-Taniyama και επίσης ότι η ελλειπτική εξίσωση y2=x(x - A)(x + b)δεν είναι modular , θα είχε καταφέρει ισοδύναμα να αποδείξει ότι η ελλειπτική αυτή εξίσωση δεν μπορεί να υπάρξει. Στην περίπτωση αυτή και η λύση στην εξίσωση του Fermat δεν μπορεί να υπάρξει και συνεπώς το θεώρημα του Fermat θα αποδεικνυόταν.
Πολλοί μαθηματικοί προσπάθησαν να ακολουθήσουν τη γραμμή που είχε χαράξει o Frey , αλλά η πιο ουσιαστική προσπάθεια έγινε από έναν από τους συγγραφείς αυτού του άρθρου , τον μαθηματικό Ribet.
Για αρχή να πούμε ότι η απόδειξη του Ribet βασίστηκε σε μια γεωμετρική μέθοδο για την «πρόσθεση» δύο σημείων μιας ελλειπτικής καμπύλης. Οπτικά η ιδέα είναι ότι προβάλλουμε μια γραμμή ανάμεσα από ένα ζεύγος διακριτών λύσεων , P1 και P2. Η γραμμή τότε τέμνει την καμπύλη σε ένα τρίτο σημείο το οποίο διαισθητικά το ονομάζουμε το άθροισμα των Ρ1 και Ρ2. . Μια πιο χρήσιμη εκδοχή αυτής της πρόσθεσης έχει ως εξής: πρώτα «προσθέτουμε» δύο σημεία και λαμβάνουμε ένα νέο σημείο , όπως περιγράφηκε και τελικά βρούμε το συμμετρικό αυτού του σημείου ως προς τον άξονα x λαμβάνουμε την τελική λύση Q.
Αυτή η ειδική μορφή πρόσθεσης μπορεί να εφαρμοσθεί σε οποιοδήποτε ζεύγος σημείων εντός του άπειρου πλήθους σημείων της καμπύλης, όμως αυτή η πράξη είναι ιδιαίτερα χρήσιμη , αν λάβουμε υπ’όψη ότι υπάρχουν σύνολα με πεπερασμένα το πλήθος σημεία τα οποία έχουν την ιδιότητα το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο να ανήκει επίσης στο σύνολο που ανήκουν τα αρχικά αυτά σημεία . Τα σύνολα αυτά μαζί διαμορφώνουν μια ομάδα , η οποία υπακούει σε μια σειρά αξιωμάτων. Αποδεικνύεται ότι αν η ελλειπτική καμπύλη είναι modular τότε το ίδιο ισχύει και με όλα τα σημεία που ανήκουν σε μια μη πεπερασμένη ομάδα σημείων της καμπύλης. Αυτό που απέδειξε ο Ribet είναι ότι μια συγκεκριμένη ομάδα σημείων που ανήκουν στην ελλειπτική καμπύλη του Frey δεν μπορεί να είναι modular , και έτσι αποκλείεται να είναι modular και ολόκληρη η καμπύλη.
Για περίπου τρεισήμισι αιώνες , το τελευταίο θεώρημα του Fermat ήταν ένα μεμονωμένο πρόβλημα , ένας μυστηριώδης και αποκλεισμένος γρίφος των μαθηματικών. Το 1986 ο Ribet δουλεύοντας πάνω στο δρόμο που είχε ανοίξει ο Frey , είχε πετύχει να αναδείξει για τα καλά το πρόβλημα και αναζωπυρώσει το ενδιαφέρον για την επίλυσή του. Φτάσαμε τελικά στο σημείο να είναι προφανώς δυνατόν να αποδειχτεί το τελευταίο θεώρημα , μόνο αν αποδεικνυόταν η πρόταση των Shimura-Taniyama. Τελικά ο Wiles , που ήταν πλέον καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Princeton δεν έχασε χρόνο. Αφιέρωσε επτά περίπου χρόνια και δούλεψε με απόλυτη μυστικότητα και μόνο η γυναίκα του γνώριζε για το μεγάλο του αυτό πάθος.
O Wiles έπρεπε, για να πετύχει το εγχείρημά του, να καταφέρει να αξιοποιήσει και να συνδυάσει τις μέχρι τότε γνωστές μεθόδους από την θεωρία των αριθμών. Όταν οι θεωρίες αυτές αποδεικνύονταν ανεπαρκείς , αναγκαζόταν να επινοεί και να χρησιμοποιεί νέες δικές του μεθόδους.
Όπως αποδείχτηκε τελικά ο Wiles δεν χρειάστηκε καν να αποδείξει την πλήρη πρόταση των Shimura-Taniyama . Αντιθέτως αυτό που χρειάστηκε να κάνει ήταν να δείξει ότι ένα συγκεκριμένο υποσύνολο ελλειπτικών καμπύλων - τέτοιο που να περιελάμβανε την υποθετική καμπύλη που είχε προτείνει ο Frey , αν αυτή όντως υπήρχε – είναι modular. Ωστόσο κάτι τέτοιο δεν απλούστευε και πολύ το έργο του , διότι το υποσύνολο καμπυλών που είχε να μελετήσει περιελάμβανε όλες τις ιδιάζουσες περιπτώσεις. Η στρατηγική του Wiles χρησιμοποίησε τα ίδια εργαλεία που είχε χρησιμοποιήσει και ο Ribet συν πολλά ακόμα.
Η δυσκολία βρισκόταν στο να αποδειχτεί ότι κάθε καμπύλη στο υποσύνολο του Wiles ήταν modular. Για να το πετύχει αυτό ο Wiles τις ομαδικές ιδιότητες ενός συνόλου σημείων μιας ελλειπτικής καμπύλης και εφάρμοσε ένα θεώρημα των μαθηματικών Langlands και Tunnell. To θεώρημα αποδεικνύει ότι για κάθε ελλειπτική καμπύλη που ανήκει στο σύνολο του Wiles υπάρχει πάντα μια ομάδα σημείων που είναι modular. Αυτή η απαίτηση ωστόσο είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή για την απόδειξη ότι η ελλειπτική καμπύλη σαν σύνολο είναι modular .
Η ομάδα που εξεταζόταν είχε μόνο εννιά στοιχεία και κάποιος μπορεί να θεωρούσε ότι η απόδειξη ότι η ομάδα αυτή είναι modular θα ήταν ένα πολύ μικρό βήμα για να μπορεί να γενικευτεί για όλη την καμπύλη. Για να κλείσει αυτό το κενό ο Wiles αποφάσισε να μελετήσει τις ιδιότητες ομάδων με πολύ μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων και συγκεκριμένα δυνάμεων του εννιά. Αν αποδείκνυε ότι ομάδες με πολύ μεγάλο πλήθος στοιχείων ήταν modular , θα κατέληγε ότι το ίδιο ισχύει και για όλη την καμπύλη , μπορώντας πλέον να γενικεύσει ευκολότερα. Ο Wiles το πέτυχε αυτό με χρήση μιας τεχνικής που είχε ως βάσει την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής . Δηλαδή αποδείκνυε ότι μια ομάδα πεπερασμένων το πλήθος στοιχείων είναι modular ελέγχοντας την αντίστοιχη ιδιότητα της αμέσως προηγούμενης ομάδας. Τελικά στις 23 Ιουνίου του 1993 ο Wiles περιχαρής ανακοίνωσε την συνολική του μελέτη σε ένα συνέδριο στο Πανεπιστήμιο του Cambridge και εξέπληξε όλη τη μαθηματική κοινότητα.
Ωστόσο δεν άργησαν και πολύ να εμφανιστούν τα πρώτα σημάδια που έθεταν σε αμφισβήτηση το κύρος της μελέτης του Wiles. Και αυτό συνέβη όταν ο καθηγητής Nicholas Katz από το Princeton εντόπισε μια ατέλεια στην αποδεικτική διαδικασία που είχε ακολουθηθεί. Στην επαγωγική του μέθοδο ο Wiles είχε δανειστεί την μέθοδο Kolyvagin-Flach από δύο διαφορετικούς καθηγητές αμερικανικών Πανεπιστημίων. Όμως οι μέθοδοι αυτές φαινόταν ότι δεν μπορούσαν να εφαρμοστούν για συγκεκριμένους λόγους στην προκειμένη περίπτωση και έτσι καθιστούσαν την όλη απόδειξη ανεπαρκή.
Για τους επόμενους 14 μήνες ο Wiles αποσύρθηκε από τα φώτα της δημοσιότητας και συζητούσε το όλο θέμα μόνο με ένα παλιό μαθητή του , τον Richard Taylor . Μαζί προσπάθησαν να βρουν λύση στο πρόβλημα , διατηρώντας τη μέθοδο που είχε χρησιμοποιήσει ο Wiles και τροποποιώντας την κατάλληλα ούτως ώστε να δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα. Είχαν αρχίσει να χάνουν κάθε ελπίδα όταν τελικά το Σεπτέμβριο του 1994 βρήκαν την ζωτική λύση. O Wiles διαπίστωσε ότι μια επιμέρους μέθοδος που είχε απορρίψει στο παρελθόν μπορούσε να πετύχει ακριβώς για τον ίδιο λόγο που αποτύγχανε η μέθοδος Kolyvagin-Flach, για την οποία είχε γίνει όλη η φασαρία και του είχε δημιουργήσει πονοκέφαλο.
Ο ίδιος ο Wiles θυμάται και περιγράφει την αντίδρασή του σε αυτή την ανακάλυψη: «Ήταν τόσο απερίγραπτα όμορφη , ήταν τόσο απλή και συνάμα μεγαλόπρεπη. Την πρώτη νύχτα πήγα σπίτι και κοιμήθηκα με τις σκέψεις αυτής της ανακάλυψης. Και το επόμενο πρωί την ξαναέλεγξα και την βρήκα εντάξει . Ήταν κάτι που ήθελα να το ανακοινώσω στη γυναίκα μου με μεγάλη ικανοποίηση. Το βρήκα ! Βρήκα τη διόρθωση στην απόδειξή μου !
Για τον Wiles , το βραβείο Wolfskehl είναι το ορόσημο μιας προσπάθειας που κράτησε περισσότερο από 30 συνολικά χρόνια. «Έχοντας πλέον λύσει το πρόβλημα είχα μια απόλυτη αίσθηση ελευθερίας . Ήμουν τόσο παθιασμένος με αυτό το πρόβλημα που για οκτώ χρόνια ήταν ένα από τα λίγα πράγματα που είχα συνεχώς στο μυαλό μου , από το πρωί μέχρι το βράδυ. Η οδύσσεια πλέον έφτασε στο τέλος της!
Για άλλους μαθηματικούς όμως, αρκετά μεγάλα ερωτήματα είναι ακόμα ανοιχτά. Συγκεκριμένα όλοι συμφωνούν στο ότι η απόδειξη που έδωσε ο Wiles είναι τελικά αρκετά πολύπλοκη και μοντέρνα ώστε να προσεγγίζει αυτό που είχε στο μυαλό του ο Fermat όταν έγραψε το περίφημο σημείωμα στο Arithmetica. Συνεπώς είτε ο Fermat έκανε λάθος και η απόδειξή του – αν ποτέ υπήρξε – ήταν ανεπαρκής, είτε μια απλή και αφοπλιστική απόδειξη περιμένει την ανακάλυψή της.
Φιλιππίδης Χαράλαμπος παράθεση από Simon Singh
Συνέντευξη με τον Andrew Wiles
NOVA : Many great scientific discoveries are the result of obsession, but in your case that obsession has held you since you were a child.
ANDREW WILES : I grew up in Cambridge in England, and my love of mathematics dates from those early childhood days. I loved doing problems in school, I’d take them home and make up knew ones of my own. But the best problem I ever found I found in my local public library. I was just browsing through the section of math books and I found this one book, which was all about one particular problem - Fermat’s Last Theorem. This problem had been unsolved by mathematicians for 300 years. It looked so simple, and yet all the great mathematicians in history couldn’t solve it. Here was a problem, that I a ten year old could understand and I knew from that moment that I would never let it go. I had to solve it.
NOVA : And who was Fermat and what was his Last Theorem?
AW : Fermat was a seventeenth century mathematician who wrote a note in the margin of his book stating a particular proposition and claiming to have proved it. His proposition was about an equation which is closely related to Pythagoras’s equation. Pythagoras’s equation gives you: x2 + y2 = z2. You can ask what are the whole number solutions to this equation and you can see that: 32 + 42 = 52 and 52 + 122 = 132. And if you go on looking then you find more and more such solutions. Fermat then considered the cubed version of this equation: x3 + y3 = z3. He raised the question, can you find solutions to the cubed equation? He claimed that there were none. In fact, he claimed that for the general family of equations: xn + yn = zn, where n is bigger than 2, it is impossible to find a solution. That’s Fermat’s Last Theorem.
NOVA: So Fermat said because he could not find any solutions to this equation, then there were no solutions?
AW: He did more than that. Just because we can’t find a solution it doesn’t mean that there isn’t one. Mathematicians aren’t satisfied because they know there are no solutions up to four million or four billion, they really want to know that there are no solutions up to infinity. And to do that we need a proof - Fermat said he had a proof. Unfortunately, all he ever wrote down was: “I have a truly marvellous demonstration of this proposition which this margin is too narrow to contain.”
NOVA: What do you mean by a proof?
AW: In a mathematical proof you have a line of reasoning consisting of a many, many steps, what are almost self-evident. If the proof we write down is really rigorous then nobody can ever prove it wrong. There are proofs that date back to the Greeks that are still valid today.
NOVA: So the challenge was to rediscover Fermat’s proof of the Last Theorem. Why did it become so famous?
AW: Well, some mathematics problems look simple, and you try them for a year or so, and then you try them for a hundred years, and it turns out that they’re extremely hard to solve. There’s no reason why these problems shouldn’t be easy, and yet they turn out to be extremely intricate. The Last Theorem is the most beautiful example of this.
NOVA: But finding a proof has no applications in the real world - it is a purely abstract question. So have people put so much effort into finding a proof?
AW: Pure mathematicians just love to try unsolved problems - they love a challenge. And as time passed and no proof was found, it became a real challenge. I’ve read letters in the early 19th century which said that it was an embarrassment to mathematics that Last Theorem had not been solved. And of course, it’s very special because Fermat said that he had a proof.
NOVA: How did you begin looking for the proof?
AW: In my early teens I tried to tackle the problem as I thought Fermat might have tried it. I reckoned that he wouldn’t have known much more math than I knew as a teenager. Then when I reached college I realized that many people had thought about the problem during the 18th and 19th centuries and so I studied those methods. But I still wasn’t getting anywhere. Then when I became a researcher I decided that I should put the problem aside. It’s not that I forgot about it - it was always there - but I realized that the only techniques we had to tackle it had been around for 130 years. It didn’t seem that these techniques were really getting to the root of the problem. The problem with working on Fermat was that you could spend years getting nowhere. It’s fine to work on any problem, so long as it generates interesting mathematics along the way - even if you don’t solve it at the end of the day. The definition of a good mathematical problem is the mathematics it generates rather than the problem itself.
NOVA : It seems that the Last Theorem was considered impossible, and that mathematicians could not risk wasting getting nowhere. But then in 1986 everything changed. A breakthrough by Ken Ribet at the University of California at Berkeley linked Fermat’s Last Theorem to another unsolved problem, the Taniyama-Shimura conjecture. Can you remember how you reacted to this news?
AW : It was one evening at the end of the summer of 1986 when I was sipping iced tea at the house of a friend. Casually in the middle of a conversation this friend told me that Ken Ribet had proved a link between Taniyama-Shimura and Fermat’s Last Theorem. I was electrified. I knew that moment that the course of my life was changing because this meant that to prove Fermat’s Last Theorem all I had to do was to prove the Taniyama-Shimura conjecture. It meant that my childhood dream was now a respectable thing to work on. I just knew that I could never let that go.
NOVA : So, because Taniyama-Shimura was a modern problem, this meant that working on it, and by implication trying to prove Fermat’s Last Theorem, was respectable.
AW : Yes. Nobody had any idea how to approach Taniyama-Shimura but at least it was mainstream mathematics. I could try and prove results, which, even if they didn’t get the whole thing, would be worthwhile mathematics. So the romance of Fermat, which had held me all my life, was now combined with a problem that was professionally acceptable.
NOVA : At this point you decided to work in complete isolation. You told nobody that you were embarking on a proof of Fermat’s Last Theorem - why was that?
AW : I realised that anything to do with Fermat’s Last Theorem generates too much interest. You can’t really focus yourself for years unless you have undivided concentration, which too many spectators would have destroyed.
NOVA : But presumably you told your wife what you were doing?
AW : My wife’s only known me while I’ve been working on Fermat. I told her on our honeymoon, just a few days after we got married. My wife had heard of Fermat’s Last Theorem, but at that time she had no idea of the romantic significance it had for mathematicians, that it had been such a thorn in our flesh for so many years.
NOVA : On a day to day basis, how did you go about constructing your proof?
AW : I used to come up to my study, and start trying to find patterns. I tried doing calculations which explain some little piece of mathematics. I tried to fit it in with some previous broad conceptual understanding of some part of mathematics that would clarify the particular problem I was thinking about. Sometimes that would involve going and looking it up in a book to see how it’s done there. Sometimes it was a question of modifying things a bit, doing a little extra calculation.
And sometimes I realised that nothing that had ever been done before was any use at all. Then I just had to find something completely new - it’s a mystery where that comes from. I carried this problem around in my head basically the whole time. I would wake up with it first thing in the morning, I would be thinking about it all day and I would be thinking about it when I went to sleep. Without distraction I would have the same thing going round and round in my mind.
The only way I could relax was when I was with my children. Young children simply aren’t interested in Fermat, they just want to hear a story and they’re not going to let you do anything else.
NOVA : Usually people work in groups and use each other for support. What did you do when you hit a brick wall?
AW : When I got stuck and I didn’t know what to do next, I would go out for a walk. I’d often walk down by the lake. Walking has a very good effect in that you’re in this state of relaxation, but at the same time you’re allowing the sub-conscious to work on you. And often if you have one particular thing buzzing in your mind then you don’t need anything to write with or any desk. I’d always have a pencil and paper ready and if I really had an idea I’d sit down at a bench and I’d start scribbling away.
NOVA : So for seven years your pursuing this proof. Presumably their are periods of self-doubt mixed with the periods of success.
AW : Perhaps I can best describe my experience of doing mathematics in terms of a journey through a dark unexplored mansion. You enter the first room of the mansion and it’s completely dark. You stumble around bumping into the furniture but gradually you learn where each piece of furniture is. Finally, after six months or so, you find the light switch, you turn it on, and suddenly it’s all illuminated. You can see exactly where you were. Then you move into the next room and spend another six months in the dark. So each of these breakthroughs, while sometimes they’re momentary, sometimes over a period of a day or two, they are the culmination of , and couldn’t exist without, the many months of stumbling around in the dark that proceed them.
NOVA : And during those seven years, you could never be sure of achieving a complete proof.
AW : I really believed that I was on the right track, but that did not mean that I would necessarily reach my goal. It could be that the methods needed to take the next step may simply be beyond present day mathematics. Perhaps the methods I needed to complete the proof would not be invented for a hundred years. So even if I was on the right track, I could be living in the wrong century.
NOVA : Then eventually in 1993, you made the crucial breakthrough.
AW : Yes, it was one morning in late May my wife, Nada, was out with the children and I was sitting at my desk thinking about the last stage of the proof. I was casually looking at a research paper and there was one sentence that just caught my attention. It mentioned a nineteenth century construction, and I suddenly realised that I should be able to use that to complete the proof. I went on into the afternoon and I forgot to go down for lunch, and by about three or four o’clock I was really convinced that this would solve the last remaining problem. It got to about tea time and I went downstairs and Nada was very surprised that I’d arrived so late. Then I told her - I’d solved Fermat’s Last Theorem.
NOVA : The New York Times exclaimed “At Last Shout of “Eureka!” in Age-Old Math Mystery”, but unknown to them, and to you, there was an error in your proof. What was the error?
AW : It was an error in a crucial part of the argument, but it was something so subtle that I’d missed it completely until that point. The error is so abstract that it can’t really be described in simple terms. Even explaining it to a mathematician would require the mathematician to spend two or three months studying that part of the manuscript in great detail.
NOVA : Eventually, after a year of work, and after inviting the Cambridge mathematician Richard Taylor to work with you on the error, you managed to repair the proof. The question that everybody asks is this - is your proof the same as Fermat’s?
AW : There’s no chance of that. Fermat couldn’t possibly have had this proof. It’s 150 pages long. It’s a 20th century proof, it couldn’t have been done in the 19th century, let alone the seventeenth century. The techniques used in this proof just weren’t around in Fermat’s time.
NOVA : So Fermat’s original proof is still out there somewhere.
AW : I don’t believe Fermat had a proof. I think he fooled himself into thinking he had a proof. But what has made this problem special for amateurs is that there’s a tiny possibility that there does exist an elegant seventeenth century proof.
NOVA : So some mathematicians might continue to look for the original proof. What will you do next?
AW : There’s no problem that will mean the same to me. Fermat was my childhood passion. There’s nothing to replace it. I’ll try other problems. I’m sure that some of them will be very hard and I’ll have a sense of achievement again, but nothing will mean the same to me - there’s no other problem in mathematics that could hold me the way that this one did.There is a sense of melancholy. We’ve lost something that’s been with us for so long, and something that drew a lot of us into mathematics. But perhaps that’s always the way with math problems, and we just have to find new ones to capture our attention. People have told me I’ve taken away their problem - can’t I give them something else? I feel some sense of responsibility. I hope that seeing the excitement of solving this problem will make young mathematicians realize that there are lots and lots of other problems in mathematics which are going to be just as challenging in the future.
NOVA : What is the main challenge now?
AW : The greatest problem for mathematicians now is probably the Riemann Hypothesis. But it’s not a problem that can be simply stated.
NOVA : And is there any one particular thought that remains with you now that Fermat’s Last Theorem has been laid to rest?
AW : Certainly one thing that I’ve learned is that it is important to pick a problem based on how much you care about it. However impenetrable it seems, if you don’t try it, then you can never do it. Always try the problem that matters most to you. I had this rare privilege of being able to pursue in my adult life, what had been my childhood dream. I know it’s a rare privilege, but if one can really tackle something in adult life that means that much to you, then it’s more rewarding than anything I can imagine.
NOVA: And now that journey is over, there must be a certain sadness?
AW : There is a certain sense of sadness, but at the same time there is this tremendous sense of achievement. There’s also a sense of freedom. I was so obsessed by this problem that I was thinking about if all the time - when I woke up in the morning, when I went to sleep at night, and that went on for eight years. That’s a long time to think about one think . That particular odyssey is now over. My mind is now at rest.
παράθεση από Simon Singh
Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης
Μαθηματικός
