Συνολικές προβολές σελίδας

Συνάρτηση

http://sbkb.org/kb-shared-files/images/function-search.png

Συνάρτηση

Είναι ένα θεμελιώδες "αντικείμενο" της Μαθηματικής Ανάλυσης.

Μια συνάρτηση ορίζεται ως μία σχέση f μεταξύ δυο συνόλων τέτοια ώστε κάθε στοιχείο του ενός συνόλου D (Domain) σχετίζεται με ένα και μόνο στοιχείο ενός άλλου συνόλου R (Range).
Τα σύνολα D και R ονομάζονται πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών της συνάρτησης, αντίστοιχα.
Αν για παράδειγμα έχουμε D το πεδίο ορισμού και R το σύνολο τιμών τότε μία συνάρτηση f είναι μια αντιστοίχιση από κάθε στοιχείο του D (έστω x) σε ένα και μόνο στοιχείο του R (έστω y). Αυτό συνήθως γράφεται y=f(x).

Αμφιμονοσήμαντη Συνάρτηση

Η συνάρτηση λέγεται αμφιμονοσήμαντη ή ένα προς ένα (σύντομα: 1-1) αν οποιαδήποτε δύο, διαφορετικά μεταξύ τους, στοιχεία του πεδίου ορισμού έχουν υποχρεωτικά διαφορετικές εικόνες. Δηλαδή, για μία συνάρτηση f, οποιαδήποτε x1, x2,που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της, να ισχύει: αν f(x1)=f(x2) τότε x1=x2.
Αν επιπλέον οι απεικονίσεις του πεδίου ορισμού καλύπτουν όλο το σύνολο τιμών (για κάθε y του Y υπάρχει x του X τέτοιο ώστε y=f(x) ) τότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι ένα προς ένα και επί.
Όταν συμβαίνει αυτό λέμε πως η συνάρτηση y = f(x) είναι αντιστρέψιμη, και η αντίστροφή της είναι η x = f − 1(y).
Οι γραφικές παραστάσεις στο καρτεσιανό επίπεδο δύο συντεταγμένων, x για τον οριζόντιο άξονα και y για τον κατακόρυφο, των συναρτήσεων f και f − 1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία με εξίσωση y = x.

Μηχανισμός της συνάρτησης

Η τιμή της εξαρτάται από την τιμή άλλης μεταβλητής ή περισσότερων μεταβλητών που λέγονται ανεξάρτητες μεταβλητές. Οι τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών μπορεί να εκλέγονται ελεύθερα από ορισμένες περιοχές τιμών. Οι τιμές των συνηθισμένων συναρτήσεων υπολογίζονται από τις τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών με σειρά αλγεβρικών πράξεων.

Πεπλεγμένη Συνάρτηση

Μια συνάρτηση είναι "πεπλεγμένη" όταν ο έμμεσος ορισμός με βάση τον οποίο παρέχεται δε δίνει αμέσως την ένδειξη των πράξεων που πρέπει να εφαρμοστούν στις ανεξάρτητες μεταβλητές για να βρεθεί η αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης.

Λελυμένη Συνάρτηση

Αντίθετα, μια "λελυμένη" συνάρτηση διατυπώνεται με σαφή ένδειξη των πράξεων που απαιτούνται. Οι πράξεις αυτές σημειώνονται συνήθως με αλγεβρικά σημεία.



Είδη Συναρτήσεων

Στα μαθηματικά, υπάρχουν οι παρακάτω συναρτήσεις:

  • Ακέραιη συνάρτηση. Ακέραιο πολυώνυμο (και γενικότερα κάθε συνάρτηση που ορίζεται από μια ακέραιη σειρά άπειρης ακτίνας σύγκλισης).
  • Αλγεβρική συνάρτηση. Συνάρτηση ρητή που δεν περιλαμβάνει άλλες πράξεις εκτός από την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό, τη διαίρεση, την ύψωση σε ορισμένη δύναμη και την εξαγωγή ρίζας.
  • Αναλυτική συνάρτηση στο επίπεδο της μιγαδικής μεταβλητής z = x + iy ονομάζεται συνάρτηση f(z) που έχει παράγωγο σε όλα τα σημεία μιας ορισμένης περιοχής τιμών z.
  • Ασυνεχής συνάρτηση. Συνάρτηση που δεν είναι συνεχής.
  • Αύξουσα και φθίνουσα συνάρτηση. Μια συνάρτηση λέγεται αύξουσα σε ένα διάστημα ο ‹ x ‹ b όταν οι τιμές της συνάρτησης αυξάνονται εφόσον η ανεξάρτητη μεταβλητή x αυξάνεται στο ίδιο διάστημα (οι τιμές της συνάρτησης και ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνονται ταυτόχρονα ή ελαττώνονται ταυτόχρονα). Αντίθετα, όταν ενώ αυξάνεται η ανεξάρτητη μεταβλητή η τιμή της συνάρτησης ελαττώνεται, η συνάρτηση λέγεται φθίνουσα. Τέλος, η συνάρτηση είναι σταθερή αν δεν αλλάζει ακόμη και όταν μεταβάλλεται η ανεξάρτητη μεταβλητή.
  • Ελλειπτική συνάρτηση. Δύο φορές περιοδική αναλυτική συνάρτηση που έχει πόλους, στον πεπερασμένο χώρο του επιπέδου.
  • Κυρτή και καμπύλη συνάρτηση. Έστω y = f(x) μια συνεχής συνάρτηση πραγματική στο διάστημα (α, b) και c η καμπύλη με την οποία παριστάνεται. Η καμπύλη c ονομάζεται κυρτή (προς τα κάτω), εφόσον από τρία τυχαία σημεία της, τα Μ ΜΜ' που λαμβάνονται σύμφωνα με την τάξη των αυξανουσών τετμημένων, το σημείο Μ βρίσκεται κάτω από τη χορδή Μ'Μ. Στην περίπτωση αυτή, λέγεται επίσης ότι η f(x) είναι συνάρτηση κυρτή στο διάστημα (α, b).
  • Μιγαδική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής. Συνάρτηση που μπορεί να τεθεί με τη μορφή f(x) + ig(x).
  • Μοναδιαία συνάρτηση. Συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής x μηδενική για x ‹ 0 και ίση προς τη μονάδα για χ › 0.
  • Μονότιμη ή μονοσήμαντη συνάρτηση. Η συνάρτηση που για μια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής δεν έχει παρά μια μόνο τιμή.
  • Ολόμορφη ή συνεκτική συνάρτηση. Συνάρτηση που σε κάθε σημείο μιας συμπαγούς περιοχής είναι μονοσήμαντη, συνεχής και αναλυτική.
  • Ομαλή συνάρτηση. Συνάρτηση που δεν επιδέχεται παρά μόνο έναν ορισμό για κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής της.
  • Περιοδική συνάρτηση. Συνάρτηση μιας μεταβλητής που επαναλαμβάνει μια τιμή της, όταν η μεταβλητή της παίρνει αύξηση ίση προς τυχόν πολλαπλάσιο μιας σταθερής ποσότητας που ονομάζεται περίοδος. Το ημχ και το συνχ είναι περιοδικές συναρτήσεις που η περίοδός τους είναι 2π.
  • Ρητή συνάρτηση. Πηλίκο δύο πολυώνυμων.
  • Συμμετρική συνάρτηση. Συνάρτηση που δεν μεταβάλλεται όταν εναλλαγούν οι μεταβλητές από τις οποίες εξαρτάται: 1/x + 1/y είναι συνάρτηση συμμετρική ως προς x και y.
  • Συνεχής συνάρτηση. Στην άλγεβρα λέγεται ότι μια συνάρτηση f(x) της ανεξάρτητης μεταβλητής x είναι συνεχής σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της, αν δοσμένου ενός θετικού αριθμού ε οσοδήποτε μικρού, είναι δυνατό να αντιστοιχιστεί σ' αυτόν ένας θετικός αριθμός η, τέτοιος ώστε η ανισότητα h ‹ n να συνεπάγεται την ανισότητα f (xo + h) - f(xο) ‹ ε. Μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος αυτού.
  • Σύνθετη συνάρτηση. Συνάρτηση μιας ή περισσότερων μεταβλητών που αποτελούν επίσης συναρτήσεις άλλων μεταβλητών.
  • Υπερβατική συνάρτηση. Μη αλγεβρική συνάρτηση.
  • Υπερβολικές συναρτήσεις. Συναρτήσεις που παίζουν για την υπερβολή ρόλο ανάλογο προς τον ρόλο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για τον κύκλο.


Γραμμική συνάρτηση

Γενικά μια γραμμική συνάρτηση έχει την μορφή
y = f(x) = a · x + b
Γεωμετρικά, η παράμετρος b εκφράζει την θέση της ευθείας στο επίπεδο ενώ η παράμετρος a την κλίση της ευθείας σε σχέση με τον οριζόντιο άξονα Οx (συγκεκριμένα εκφράζει την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζεται από τον άξονα Οx και την ευθεία).

http://www.livepedia.gr/index.php/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7


Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης
Μαθηματικός

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου