Συνολικές προβολές σελίδας

Google Analytics

Το μεγαλύτερο άλυτο πρόβλημα μαθηματικών


Riemann


Κάντε κλικ εδώ για να τα δείτε ή να τα κατεβάσετε (onedrive)


Όταν ο περίφημος Άγγλος μαθηματικός G. H. Hardy αντιμετώπισε ένα επικίνδυνο θαλάσσιο
ταξίδι, έγραψε στα γρήγορα μία κάρτα για ένα φίλο του με τα εξής λόγια : "Απέδειξα την υπόθεση Riemann". Όπως εξήγησε αργότερα έχοντας επιβιώσει από το ταξίδι, αυτή η πράξη του ήταν ένα ασυνήθιστο συμβόλαιο ζωής, επειδή αν υπήρχε θεός δεν θα άφηνε έναν αθεϊστή να πεθάνει σε ναυάγιο και να καρπωθεί την μεταθανάτια δόξα για την επίλυση του πιο διάσημου μαθηματικού προβλήματος.
Σχεδόν ένα αιώνα μετά η υπόθεση Riemann παραμένει αναπόδεικτη. Η λάμψη της είναι απαράμιλλη επειδή κρατάει το κλειδί των πρώτων αριθμών, αυτών των μυστήριων οντοτήτων που επηρεάζουν καθοριστικά τα μαθηματικά.


Υπάρχουν ενδείξεις ότι η λύση του προβλήματος μπορεί να είναι κοντά, και ότι οι πλέον υποσχόμενες προσεγγίσεις δεν προέρχονται από τον μαθηματικό χώρο, αλλά από την Φυσική!
Έχει εντοπιστεί μια βαθύτατη σύνδεση μεταξύ της υπόθεσης Riemann και του φυσικού κόσμου, μία σύνδεση που όχι μόνο θα μπορούσε να αποδείξει την υπόθεση, αλλά και να φωτίσει την δυσνόητη συμπεριφορά των ατόμων, των μορίων και γενικά των περίπλοκων συστημάτων του μικρόκοσμου.Οι πρώτοι αριθμοί είναι οι βασικοί δομικοί λίθοι των Μαθηματικών. Επιπλέον είναι ζωτική η σημασία τους στην κρυπτογραφία και στην αυξανόμενη σπουδαιότητα του διαδικτυακού εμπορίου και των συστημάτων ασφαλείας.
Φαίνονται απλοί με μία "πρώτη" ματιά. Είναι αριθμοί όπως οι 2357111317,1923 κλπ, που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και το 1 (η μονάδα δεν συμπεριλαμβάνεται στους πρώτους). Ο Ευκλείδης πρώτος απέδειξε οτι οι πρώτοι δεν έχουν τέλος, δηλαδή ότι είναι άπειροι.
Οι πρώτοι είναι τα άτομα του αριθμητικού συστήματος, επειδή o κάθε ένας από τους υπόλοιπους σύνθετους αριθμούς (που δεν είναι πρώτοι) συντίθεται με μοναδικό τρόπο, και συγκεκριμένα με τον πολλαπλασιασμό πρώτων αριθμών (πχ 3Χ 7 = 21). Δυστυχώς δεν υπάρχει περιοδικός πίνακας για τους πρώτους, που είναι απρόβλεπτοι μέχρι τρέλας. Η εύρεση νέων πρώτων είναι κατά κανόνα ζήτημα δοκιμής και λάθους.
Τον 19ο αιώνα οι μαθηματικοί βρήκαν λίγη τάξη στο φαινομενικό αυτό χάος. Αν και ο κάθε πρώτος ξεπετιέται αναπάντεχα, η συνολική κατανομή τους ακολουθεί μία τάση, όπως πχ η ρίψη ενός νομίσματος, όπου το αποτέλεσμα είναι μεν απρόβλεπτο, αλλά μετά από πολλές ρίψεις περιμένουμε να έχουμε περίπου μισές κορώνες και μισά γράμματα.
Οι πρώτοι αριθμοί γίνονται όλο και πιό σπάνιοι όσο ψάχνουμε για μεγαλύτερους (δείτε το διάγραμμα), και οι μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι αυτή η αραίωσή τους είναι προβλέψιμη. Η συνάρτηση μέτρησης πρώτων π(x) μετρά το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι από κάποιο δεδομένο αριθμό x. Tο 1792 ο Gauss, σε ηλικία 15 ετών, βρήκε ότι η συνάρτηση μέτρησης πρώτων π(x) υπολογίζεται "περίπου" από τον τύπο x/ln(x), όπου ln(x) είναι ο φυσικός λογάριθμος του x. Έτσι, για παράδειγμα, υπάρχουν περίπου 400.000.000 πρώτοι αριθμοί (ποσοστό ~ 4%) που είναι μικρότεροι από τον αριθμό 10.000.000.000 !

Φιλιππίδης Χαράλαμπος παράθεση από negentropist

Υπόθεση του Ρίμαν
Το 1859, ο Μπέρνχαρτ Ράιμαν παρουσίασε την υπόθεση, που είναι η μόνη που απομένει αναπόδεικτη από τον κατάλογο του Χίλμπερτ. Η υπόθεση αφορά την αλληλουχία των πρώτων αριθμών μεταξύ των θετικών ακέραιων. Πρώτος είναι κάθε θετικός αριθμός, εκτός του 1, ο οποίος δεν διαρείται παρά μόνο από τον εαυτό του και το 1.
Οι πρώτοι δέκα πρώτοι αριθμοί είναι οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29. Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, αλλά η συχνότητά τους μειώνεται όσο επεκτείνεται η σειρά θετικών ακεραίων προς το άπειρο. Από τους οκτώ αρχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, οι μισοί είναι πρώτοι, αλλά από τους αρχικούς εκατό, μόλις το ένα τέταρτο είναι πρώτοι, ενώ από τους αρχικούς ένα εκατομμύριο θετικούς ακέραιους, μόλις ο ένας στους δέκα τρεις είναι πρώτος.
Αυτό δημιουργεί το ερώτημα εάν μπορούμε να εξαγάγουμε κάποιο αξιόλογο συμπέρασμα για τον ακριβή τρόπο, με τον οποίο το ποσοστό αυτό μειώνεται σταδιακά. Το αρχικό πρότυπο της ακολουθίας πρώτων αριθμών και όσα γνωρίζουμε για τα μετέπειτα πρότυπα δεν είναι, όμως, ενθαρρυντικά. Τα διαστήματα μεταξύ των αρχικών δέκα πρώτων, για παράδειγμα, είναι 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4 και 6, μία ακολουθία που δεν μοιάζει να έχει εμφανή περιοδικότητα.
Ασχετα από το πόσο μακριά φθάνουμε στην αλληλουχία θετικών ακεραίων, ανακαλύπτουμε ομάδες πολλών πρώτων, συγκεντρωμένες κοντά η μία στην άλλη, καθώς και διαστήματα, όσο μεγάλα θέλει κανείς, στα οποία δεν συναντούμε κανέναν πρώτο αριθμό.
Οι μαθηματικοί, όμως, πέτυχαν να κατανοήσουν -εν μέρει- τον τρόπο με τον οποίο το ποσοστό των πρώτων αριθμών μειώνεται. Αν και η κατανόηση αυτή προήλθε από άλλο κλάδο των Μαθηματικών, που μοιάζει εντελώς άσχετος με τη θεωρία των θετικών ακεραίων, καθώς ασχολείται με τη διαρκή διακύμανση ενός μεγέθους σε σχέση με ένα άλλο. Παρ’ όλα αυτά, η απόδειξη της Υπόθεσης του Ρίμαν, εάν και εφόσον επιτευχθεί, θα μπορούσε και αυτή να έχει σημαντικές πρακτικές εφαρμογές στη Φυσική και την τεχνολογία των επικοινωνιών.
Φιλιππίδης Χαράλαμπος παράθεση από Καθημερινή


Χειρόγραφο με την αρχική διατύπωση του θεωρήματος:
Κάντε κλικ πάνω στην εικόνα για μεγένθυση
Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης
Μαθηματικός

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου